2º Atividade do livro Maremática Contexto e Aplicações Dante

PROBABILIDADE A história da teoria das probabilidades teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório. Experimento Aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral é S. Exemplo: Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos: S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6} 1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}. 2. Idem, o evento em que: a) A ou B ocorrem; b) B e C ocorrem; c) Somente B ocorre. 3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos Resolução: 1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6}; Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5} Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}. 2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5} (b) B e C = B Ç C = {R3,R5} (c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C; A e C são mutuamente exclusivos, B Ç Ac Ç Cc = {K3,K5,R2} 3. Porque A Ç C = Æ Conceito de probabilidade Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é: Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50% Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência. Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre: Propriedades Importantes: 1. Se A e A’ são eventos complementares, então: P( A ) + P( A' ) = 1 2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo). Probabilidade Condicional Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada. Fórmula de Probabilidade Condicional P(E1 e E2 e E3 e... e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1). Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1; P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2; P(Pn/E1 e E2 e... En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1. Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos: A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30 B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29 Assim: P(A e = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87 Eventos independentes Dizemos que E1 e E2 e... En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido. Fórmula da probabilidade dos eventos independentes: P(E1 e E2 e E3 e... e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En) Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e 8) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.8) Observe que na segunda retirada foram consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna. Probabilidade de ocorrer à união de eventos Fórmula da probabilidade de ocorrer à união de eventos: P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2) De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2). Fórmula de probabilidade de ocorrer à união de eventos mutuamente exclusivos: P(E1 ou E2 ou E3 ou... ou En) = P(E1) + P(E2) +... + P(En) Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco? Considerando os eventos: A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6 B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6 Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos: n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos: (A ou 8) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36.8) Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei? Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos: A: sair 8 e P(A) = 4/52 B: sair um rei e P(B) = 4/52 Assim, P(A ou 8) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e 8) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.

Apresentação da Atividade Do Livro.

Atividade do livro Maremática Contexto e Aplicações Dante

Obs: o que esta de vermelho e pq na divisão da 1 então a gente corta

1.Existem 2 vias de locomoção de uma cidade A para uma cidade B e 3 vias de locomoção de uma
cidade B a uma cidade C, de quantas maneiras pode-se ir de A à C, passando por B?
R:
2(vias de A p/ B).3(vias de B para C)
2.3
6

2.De quantas maneiras diferentes pode-se vestir uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças,2 pares
de meia e 2 pares de sapato?
R:
5(camisas).3(calças).2(meia).2(sapato)
5.3.2.2
15.4
60

3.Ao lançarmos sucessivamente 3 moedas diferentes quantas e quais são as possibilidades de
resultado?

R:
2(possibilidade n 1° moeda[cara ou coroa]).2(possibilidade n 2° moeda[cara ou
coroa]),2(possibilidade n 3° moeda[cara ou coroa])
2.2.2
4.2
8
Existem 8 possibilidades q são:
Obs: Ca representa cara e Co representa coroa.
Ca,Ca,Ca / Co,Co,Co
Ca,Ca,Co / Co,Co,Ca
Ca,Co,Ca / Co,Ca,Co
Ca,Co,Co / Co,Ca,Ca

4. Numa lanchonete há 5 tipos de sanduíche,4 tipos de refrigerante e 3 tipos de sorvete. De quantas
maneiras podemos tomar um lanche composto de 1 sanduíche, 1 refrigerante e 1 sorvete?
R:
5(tipos de sanduíche).4(tipos de refrigerante).3(tipos de sorvete)
5.4.3
20.3
60

5.Quantos números de dois algarismos podemos formar sabendo que o algarismo das dezenas
corresponde a um múltiplo de 2 (diferente de zero) e o algarismo das unidades corresponde a um
múltiplo de 3?

R:
os n° de 2 algarismos estão ente 10 e 99
existem 4 n° para a dezena pois entre 1 e 9(que são os n° das dezenas de 10 e 99) temos 2,4,6 e 8
q são múltiplos de 2
existem 4 n° para a unidade pois entre 0 e 9(que são os n° das unidades de 10 e 99) temos 0,3,6,9
q são múltiplos de 3
então fica:
4(dezenas).4(unidades)
4.4
16

6.Quantas palavras (com significado ou não) de 3 letras podemos formar com as letras A, L e I?
Quais são essas palavras?
R:
3![letras]/(3-3[posições])!
3!/(3-3)!
3.2.1!/1!
3.2
6
Existem 6 palavras q são:
ALI / LIA
AIL / ILA
LAI / IAL

7.Quantos números de 4 algarismo podemos escrever com os algarismos 2, 4, 6 e 8? E de 4
algarismos distintos?

R:
4![n°]/(4-4[algarismos])!
4!/(4-4)!
4.3.2.1!/1!
4.3.2
24

8.De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode sentar num banco de 5 lugares para tirar uma
foto?
R:

5![pessoas]/(5-5[lugares])!
5!/(5-5)!
5.4.3.2.1!/1!
5.4.3.2
120

9.De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares, ficando]
duas delas (por exemplo, pai e mãe) sempre juntas em qualquer ordem?
R:

4![porque tem 5 pessoas mas o pai e a mãe vai ser contados como 1 pessoas só para
permanecerem sempre juntos]/(4-4[porque tem 5 lugares mas os lugares do pai e da mãe vao ser
contados como 1 lugar só])
4!(4-4)!
4.3.2.1!/1!
4.3.2
24

10.Quantos são os anagramas da palavra AMOR?
R:
4![letras]/(4-4[posições])!
4!/(4-4)!
4.3.2.1!/1!
4.3.2
24