Matriz oposta e Matriz Transposta

Multiplicação de um numero real por uma matriz

Adição e Subtração de matrizes

Adição e Subtração de

 matrizes 

Adição 

Para adicionarmos duas ou

 [1 -1]       [-1 0] mais matrizes é preciso que todas elas tenham o mesmo número de linhas e de colunas. A soma dessas matrizes irá resultar em outra matriz que também terá o mesmo número de linhas e de colunas.
Os termos deverão ser somados com os seus termos correspondentes.
Concluímos que:

Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então, A + B = C, com
C de ordem m x n ↔ a11 + b11 = c11.

Veja o exemplo abaixo:

 [5 4]        [0 -2]  

 [0 2]        [5 -3]

Dado a matriz A = e matriz B = , se efetuarmos a soma dessas matrizes teremos:

Somaremos os termos correspondentes em cada matriz: 

[5 4] + [0 -2] = [5 2]

[0 2] + [5 -3] = [5 -1]

[1 -1]+ [-1 0] = [0 -1]



Com a soma das duas matrizes obtivemos outra matriz C

Subtração 

Para efetuarmos a subtração de duas matrizes, as matrizes subtraídas devem ter a mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas) e a matriz obtida com a subtração (matriz diferença) também deve ter o mesmo número de linhas e colunas que as matrizes subtraídas.
Cada elemento de uma matriz deve ser subtraído com o elemento correspondente da outra matriz.
Concluímos que:

Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então A – B = C de
ordem m x n ↔ a11 – a11 = c11

Veja o exemplo abaixo:
Dada a matriz A = e a matriz B = , se efetuamos a subtração dessas matrizes, temos:

Subtraindo os termos correspondentes das matrizes:

[5 4] – [0 2] = [5 6]

[0 2] – [5 -3] = [5 5]

[1-1] – [-1 0]= [2-1]

Com a subtração das duas matrizes obtivemos uma matriz C = [5 6]

                                                                                                      [-5 5]

                                                                                                      [2 -1] 3x2

Atividade do livro de matemática Dante contextos e aplicações

pág: 100

obs: isso ¬ significa raiz quadrada.

obs2: ocorreu um problema na postagem a chave da matriz n apareceu mas da para entender e só se basear nos cálculos.

Questão 3) identifique:
a)os elementos a₁₁ , a₂₂ e a₁₃ na matriz

                  2          6          10

matriz  =

                  4          –5         –1

R=

a₁₁=  2

a₂₂= –5

a₁₃= 10

b)os elementos a₃₁, a₂₃ e a₃₃ na matriz

                        1       3       0

matriz =         –4      10     2

                       6       ¬3     ¬2

R=

a₃₁ = 6

a₂₃ = 2

a₃₃ = ¬2

Questão 4) escreva as matrizes:

a) A = (a_ij)_2x3 tal que a_ij = i²+j²

R=

a₁₁ = 1² + 1²  = 1 + 1 = 2                                                 2       5       10

a₁₂ = 1² + 2²  = 1 + 4 = 5                        matriz A   =

a₁₃ = 1² + 3²  = 1 + 9 = 10                                               5       8       13

a₂₁ = 2² + 1² = 4 + 1 = 5

a₂₂ = 2² + 2² = 4 + 4 = 8

a₂₃ = 2² + 3² = 4 + 9 = 13

b) M = (a_ij), com 1 ≤ i ≤3 e 1 ≤ j ≤ 3, tal que a_ij = 3i + 2j 2 – 5

R=

a₁₁ = 3.1 + 2.1 – 5 = 3 + 2 – 5 = 5 – 5 = 0                             0       2

a₁₂ = 3.1 + 2.2 – 5 = 3 + 4 – 5 = 7 – 5 = 2        matriz M =                        

a₂₁ = 3.2 + 2.1 – 5 = 6 + 2 – 5 = 8 – 5 = 3                             3       5

a₂₂ =3.2 + 2.2 – 5 = 6 + 4 – 5 = 10 – 5 = 5

c) X = Questão (a_ij)_4x2 de modo que a_ij = 2i²  –  j

R=

a₁₁ = 2.1² – 1 = 2.1 – 1 = 2 – 1 = 1                                1       0

a₁₂ = 2.1²  – 2 = 2.1 – 2 = 2 – 2 = 0

a₂₁ = 2.2²  – 1 = 2.4 – 1 = 8 – 1 = 7                               7       6

a₂₂ = 2.2²  – 2 = 2.4 – 2 = 8 – 2 = 6         matriz  X  =

a₃₁ = 2.3² – 1 = 2.9 – 1 = 18 – 1 = 17                           17     16

a₃₂ = 2.3² – 2 = 2.9 – 2 = 18 – 2 = 16

a₄₁ = 2.4² – 1 = 2.16 – 1 = 32 – 1 = 31                         31     30

a₄₂ = 2.4² – 2 = 2.16 – 2 = 32 – 2 = 30

 

d) A = (a_ij)_4x4 tal que ; a_ij = 0 para i = j ;  a_ij = 1 para i ≠ j

R=

a₁₁ = (1 = 1) = 0                                                  0       1       1       1

a₁₂ = (1 ≠ 2) = 1

a₁₃ = (1 ≠ 3) = 1                                                  1       0       1       1

a₁₄ = (1 ≠ 4) = 1                              matriz  A =
a₂₁ = (2 ≠ 1) = 1                                                  1       1       0       1

a₂₂ = (2 = 2) = 0  

a₂₃ = (2 ≠ 3) = 1                                                  1       1       1       0

a₂₄ = (2 ≠ 4) = 1

a₃₁ = (3 ≠ 1) = 1

a₃₂ = (3 ≠ 2) = 1

a₃₃ = (3 = 3) = 0

a₃₄ = (3 ≠ 4) = 1

a₄₁ = (4 ≠ 1) = 1

a₄₂ = (4 ≠ 2) = 1

a₄₃ = (4 ≠ 3) = 1

a₄₄ = (4 = 4) = 0

e) Y = (a_ij)_{2x4 com} a_ij = |i – j|

R=

a₁₁ = |1 – 1| = | 0 |                                                        0       1       2       3

a₁₂ = |1 – 2| = | –1 |                                  matriz  Y =

a₁₃ = |1 – 3| = | –2 |                                                      1       0       1       2

a₁₄ = |1 – 4| = | –3 |

a₂₁ = |2 – 1| = | 1 |

a₂₂ = |2 – 2| = | 0 |

a₂₃ = |2 – 3| = | –1 |

a₂₄ = |2 – 4| = | –2 |

f) A = (a_ij), com 1≤ i ≤ 2 e 1≤  j ≤ 2, tal que  a_ij = (–2)ⁱ.( –1)^j

R=

a₁₁ = (–2)¹.( –1)¹ = –2.–1 = 2                               2       –2

a₁₂ = (–2)¹.( –1)² = –2.1 = –2             matriz M=

a₂₁ = (–2)².( –1)¹ = 4.–1 = –4                              –4       4

a₂₂ = (–2)².( –1)² = 4.1 = 4

Matriz: conceito; matiz quadrada, triangula, diagonal, identidade e nula.

Conceituando matriz

Para compreendermos a conceituação de matriz, precisamos aderir à convenção dos matemáticos em que a ordenação das linhas de uma matriz seja dada de cima para baixo, e a ordenação das colunas, da esquerda para a direita. Veja o exemplo abaixo e perceba a prática desta convenção.

Vejamos mais detalhadamente o resultado desta convenção.

Em termos gerais: uma matriz m x n, com m e n números naturais não nulos, é toda tabela composta por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas.

Representando matrizes

Uma matriz é, em geral, representa por uma letra maiúscula do nosso alfabeto (A, B, C, ...Z), enquanto os seus termos são representados pela mesma letra, desta vez minúscula, acompanhada de dois índices (a₁₁   a₁₂   a_{13 ...} a_mn), onde o primeiro representa a linha e o segundo a coluna em que o elemento está localizado.

Uma representação genérica de matriz é mostrada em seguida:

Chamemos esta matriz de A, e sua ordem é m x n, ou seja, m linhas e n colunas. Nela podemos observar o elemento a_ij, onde i representa a linha e j a coluna. Tomemos como exemplo o elemento a₃₂ → i = 3 e j = 2. O elemento está localizado na 3ª linha e na 2ª coluna. Ainda podemos chamar esta matriz de A = (a_ij)_{m x n.}

Tipos de matrizes

Matriz quadrada

Dizemos que uma matriz A de ordem m x n é quadrada, quando m = n. Isso significa que o número de linhas será igual ao número de colunas. Podemos representar este tipo de matriz por A_n.

Exemplos:

Matriz triangular

Uma matriz de ondem n (quadrada) é triangular quando todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos (iguais à zero).

Exemplos:

Lembrete: O enunciado diz que os elementos acima OU abaixo da diagonal principal, na matriz quadrada, são nulos, ou seja, somente uma dessas partes (acima ou abaixo) deverá estar nula para caracterizar uma matriz quadrada. Quando estas duas partes são nulas, temos outro tipo de matriz, a diagonal, como veremos em seguida.

Matriz diagonal

A matriz, de ordem n (quadrada), diagonal é aquela em que todos os elementos acima e baixo da diagonal principal são nulos.

Matriz identidade

Matriz identidade é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os elementos acima e abaixo desta diagonal são nulos (iguais a zero). Podemos representar esta matriz por I_n.

Matriz nula

Numa matriz nula, todos os elementos são iguais à zero. Podemos representar uma matriz nula m x n por 0_{m x n}; caso ela seja quadrada, indica-se por 0_n.

credito: http://www.infoescola.com/matematica/matrizes/

PROBABILIDADE A história da teoria das probabilidades teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório. Experimento Aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral é S. Exemplo: Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos: S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6} 1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}. 2. Idem, o evento em que: a) A ou B ocorrem; b) B e C ocorrem; c) Somente B ocorre. 3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos Resolução: 1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6}; Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5} Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}. 2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5} (b) B e C = B Ç C = {R3,R5} (c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C; A e C são mutuamente exclusivos, B Ç Ac Ç Cc = {K3,K5,R2} 3. Porque A Ç C = Æ Conceito de probabilidade Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é: Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50% Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência. Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre: Propriedades Importantes: 1. Se A e A’ são eventos complementares, então: P( A ) + P( A' ) = 1 2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo). Probabilidade Condicional Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada. Fórmula de Probabilidade Condicional P(E1 e E2 e E3 e... e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1). Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1; P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2; P(Pn/E1 e E2 e... En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1. Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos: A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30 B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29 Assim: P(A e = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87 Eventos independentes Dizemos que E1 e E2 e... En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido. Fórmula da probabilidade dos eventos independentes: P(E1 e E2 e E3 e... e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En) Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9. Observe que na segunda retirada foram consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna. Probabilidade de ocorrer à união de eventos Fórmula da probabilidade de ocorrer à união de eventos: P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2) De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2). Fórmula de probabilidade de ocorrer à união de eventos mutuamente exclusivos: P(E1 ou E2 ou E3 ou... ou En) = P(E1) + P(E2) +... + P(En) Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco? Considerando os eventos: A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6 B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6 Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos: n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos: (A ou = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36. Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei? Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos: A: sair 8 e P(A) = 4/52 B: sair um rei e P(B) = 4/52 Assim, P(A ou = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos