Esse blog serve para tentar ensinar as pessoas um pouco sobre matemática do 2° ano do ensino médio. Observação: ele é feito por alunos então pode não ter explicações corretas,caso perceba um erro avise-nos por favor.
segunda-feira, 23 de dezembro de 2013
As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. Nos assuntos ligados à álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas, observe: , matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna). , matriz de ordem 3 x 2. (3 linhas e 2 colunas) , matriz de ordem 4 x 2. (4 linhas e 2 colunas) , matriz de ordem 1 x 4. (1 linha e 4 colunas) As matrizes com número de linhas e colunas iguais são denominadas matrizes quadradas. Observe: , matriz quadrada de ordem 2 x 2. , matriz quadrada de ordem 3 x 3. , matriz quadrada de ordem 4 x 4. Na matriz , temos que cada elemento ocupa seu espaço de acordo com a seguinte localização: O elemento 2 está na 1ª linha e 1ª coluna. O elemento 5 está na 1ª linha e 2ª coluna. O elemento 7 está na 2ª linha e 1ª coluna. O elemento –9 está na 2ª linha e 2ª coluna. Portanto, temos: aij, onde i = linhas e j = colunas. a11 = 2 a12 = 5 a21 = 7 a 22 = –9 Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação baseada em situações variadas. Por exemplo, vamos construir uma matriz de ordem 3 x 3, seguindo a orientação aij = 3i + 2j. Vamos escrever a matriz B dada por (aij)4x4, de modo que i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j.
sábado, 30 de novembro de 2013
Adição e Subtração de matrizes
Adição e Subtração de
matrizes
Adição
Para adicionarmos duas ou
Para adicionarmos duas ou
[1 -1] [-1
0] mais matrizes é preciso que todas elas tenham o mesmo número de linhas e de
colunas. A soma dessas matrizes irá resultar em outra matriz que também terá o
mesmo número de linhas e de colunas.
Os termos deverão ser somados com os seus termos correspondentes.
Concluímos que:
Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então, A + B = C, com
C de ordem m x n ↔ a11 + b11 = c11.
Veja o exemplo abaixo:
Os termos deverão ser somados com os seus termos correspondentes.
Concluímos que:
Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então, A + B = C, com
C de ordem m x n ↔ a11 + b11 = c11.
Veja o exemplo abaixo:
[5 4] [0
-2]
[0 2] [5
-3]
Dado a matriz A = e matriz B = , se efetuarmos a soma dessas matrizes teremos:
Somaremos os termos correspondentes em cada matriz:
[5 4] + [0 -2] = [5 2]
[0 2] + [5 -3] = [5 -1]
[1 -1]+ [-1 0] = [0 -1]
Com a soma das duas matrizes obtivemos outra matriz C
Com a soma das duas matrizes obtivemos outra matriz C
Subtração
Para efetuarmos a subtração de duas matrizes, as matrizes subtraídas devem ter a mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas) e a matriz obtida com a subtração (matriz diferença) também deve ter o mesmo número de linhas e colunas que as matrizes subtraídas.
Cada elemento de uma matriz deve ser subtraído com o elemento correspondente da outra matriz.
Concluímos que:
Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então A – B = C de
ordem m x n ↔ a11 – a11 = c11
Veja o exemplo abaixo:
Dada a matriz A = e a matriz B = , se efetuamos a subtração dessas matrizes, temos:
Subtraindo os termos correspondentes das matrizes:
[5 4] – [0 2] = [5 6]
Para efetuarmos a subtração de duas matrizes, as matrizes subtraídas devem ter a mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas) e a matriz obtida com a subtração (matriz diferença) também deve ter o mesmo número de linhas e colunas que as matrizes subtraídas.
Cada elemento de uma matriz deve ser subtraído com o elemento correspondente da outra matriz.
Concluímos que:
Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então A – B = C de
ordem m x n ↔ a11 – a11 = c11
Veja o exemplo abaixo:
Dada a matriz A = e a matriz B = , se efetuamos a subtração dessas matrizes, temos:
Subtraindo os termos correspondentes das matrizes:
[5 4] – [0 2] = [5 6]
[0 2] – [5 -3] = [5 5]
[1-1] – [-1 0]= [2-1]
Com a subtração das duas matrizes obtivemos uma matriz C = [5 6]
Com a subtração das duas matrizes obtivemos uma matriz C = [5 6]
[-5 5]
[2 -1] 3x2
sexta-feira, 29 de novembro de 2013
Atividade do livro de matemática Dante contextos e aplicações
pág: 100
obs:
isso ¬ significa raiz quadrada.
obs2: ocorreu um problema na postagem a chave da matriz n apareceu mas da para entender e só se basear nos cálculos.
a)os elementos a11 , a22 e a13 na matriz
2 6 10
matriz =
4 –5 –1
R=
a11= 2
a22= –5
a13= 10
b)os elementos a31,
a23
e a33
na matriz
1 3 0
matriz = –4 10 2
6 ¬3 ¬2
R=
a31 = 6
a23 = 2
a33 = ¬2
Questão
4) escreva as matrizes:
a)
A = (aij)2x3 tal que aij = i2+j2
R=
a11
= 12 + 12 =
1 + 1 = 2 2 5 10
a12
= 12 + 22 =
1 + 4 = 5 matriz A
=
a13 = 12 + 32 = 1 + 9 = 10 5 8 13
a21 = 22 + 12 =
4 + 1 = 5
a22 = 22 + 22 =
4 + 4 = 8
a23 = 22 + 32 = 4 +
9 = 13
b) M = (aij), com 1 ≤ i ≤3 e 1 ≤ j ≤
3, tal que aij = 3i + 2j 2 – 5
R=
a11 =
3.1 + 2.1 – 5 = 3 + 2 – 5 = 5 – 5 = 0 0 2
a12
= 3.1 + 2.2 – 5 = 3 + 4 – 5 = 7 – 5 = 2 matriz M =
a21 = 3.2 + 2.1 – 5 = 6 + 2 – 5 = 8 – 5 =
3 3 5
a22 =3.2 + 2.2 – 5 = 6 + 4 – 5 = 10 – 5 =
5
c) X = Questão (aij)4x2 de
modo que aij
= 2i2 – j
R=
a11
= 2.12 – 1 = 2.1 – 1 = 2 – 1 = 1 1 0
a12
= 2.12 –
2 = 2.1 – 2 = 2 – 2 = 0
a21 = 2.22 – 1 = 2.4 – 1
= 8 – 1 = 7 7 6
a22 = 2.22 – 2 = 2.4 – 2
= 8 – 2 = 6 matriz
X =
a31 = 2.32 –
1 = 2.9 – 1 = 18 – 1 = 17 17 16
a32 = 2.32 –
2 = 2.9 – 2 = 18 – 2 = 16
a41 = 2.42 –
1 = 2.16 – 1 = 32 – 1 = 31 31 30
a42 = 2.42 –
2 = 2.16 – 2 = 32 – 2 = 30
d) A = (aij)4x4 tal
que ; aij = 0 para i = j ; aij = 1 para i ≠ j
R=
a11
= (1 = 1) = 0 0 1 1 1
a12
= (1 ≠ 2) = 1
a13
= (1 ≠ 3) = 1 1 0 1 1
a14
= (1 ≠ 4) = 1 matriz
A =
a21 = (2 ≠ 1) = 1 1 1 0 1
a21 = (2 ≠ 1) = 1 1 1 0 1
a22
= (2 = 2) = 0
a23
= (2 ≠ 3) = 1 1 1 1 0
a24
= (2 ≠ 4) = 1
a31
= (3 ≠ 1) = 1
a32
= (3 ≠ 2) = 1
a33
= (3 = 3) = 0
a34
= (3 ≠ 4) = 1
a41
= (4 ≠ 1) = 1
a42
= (4 ≠ 2) = 1
a43
= (4 ≠ 3) = 1
a44
= (4 = 4) = 0
e)
Y = (aij)2x4 com aij = |i – j|
R=
a11
= |1 – 1| = | 0 | 0 1 2 3
a12
= |1 – 2| = | –1 | matriz
Y =
a13
= |1 – 3| = | –2 | 1 0 1 2
a14
= |1 – 4| = | –3 |
a21
= |2 – 1| = | 1 |
a22
= |2 – 2| = | 0 |
a23
= |2 – 3| = | –1 |
a24
= |2 – 4| = | –2 |
f)
A = (aij), com 1≤ i ≤ 2 e 1≤ j ≤ 2, tal que aij = (–2)i.( –1)j
R=
a11
= (–2)1.( –1)1 = –2.–1 = 2 2 –2
a12
= (–2)1.( –1)2 = –2.1 = –2 matriz M=
a21 = (–2)2.( –1)1 = 4.–1
= –4 –4 4
a22 = (–2)2.( –1)2 = 4.1
= 4
sexta-feira, 22 de novembro de 2013
Matriz: conceito; matiz quadrada, triangula, diagonal, identidade e nula.
Conceituando matriz
Para compreendermos a conceituação de matriz, precisamos aderir à convenção dos matemáticos em que a ordenação das linhas de uma matriz seja dada de cima para baixo, e a ordenação das colunas, da esquerda para a direita. Veja o exemplo abaixo e perceba a prática desta convenção.
Vejamos mais detalhadamente o resultado desta convenção.
Em termos gerais: uma matriz m x n, com m e n números naturais não nulos, é toda tabela composta por m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Representando matrizes
Uma matriz é, em geral, representa por uma letra maiúscula do nosso alfabeto (A, B, C, ...Z), enquanto os seus termos são representados pela mesma letra, desta vez minúscula, acompanhada de dois índices (a11 a12 a13 ... amn), onde o primeiro representa a linha e o segundo a coluna em que o elemento está localizado.
Uma representação genérica de matriz é mostrada em seguida:
Chamemos esta matriz de A, e sua ordem é m x n, ou seja, m linhas e n colunas. Nela podemos observar o elemento aij, onde i representa a linha e j a coluna. Tomemos como exemplo o elemento a32 → i = 3 e j = 2. O elemento está localizado na 3ª linha e na 2ª coluna. Ainda podemos chamar esta matriz de A = (aij)m x n.
Tipos de matrizes
Matriz quadrada
Dizemos que uma matriz A de ordem m x n é quadrada, quando m = n. Isso significa que o número de linhas será igual ao número de colunas. Podemos representar este tipo de matriz por An.
Exemplos:
Matriz triangular
Uma matriz de ondem n (quadrada) é triangular quando todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos (iguais à zero).
Exemplos:
Lembrete: O enunciado diz que os elementos acima OU abaixo da diagonal principal, na matriz quadrada, são nulos, ou seja, somente uma dessas partes (acima ou abaixo) deverá estar nula para caracterizar uma matriz quadrada. Quando estas duas partes são nulas, temos outro tipo de matriz, a diagonal, como veremos em seguida.
Matriz diagonal
A matriz, de ordem n (quadrada), diagonal é aquela em que todos os elementos acima e baixo da diagonal principal são nulos.
Matriz identidade
Matriz identidade é uma matriz quadrada de ordem n cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os elementos acima e abaixo desta diagonal são nulos (iguais a zero). Podemos representar esta matriz por In.
Matriz nula
Numa matriz nula, todos os elementos são iguais à zero. Podemos representar uma matriz nula m x n por 0m x n; caso ela seja quadrada, indica-se por 0n.
credito: http://www.infoescola.com/matematica/matrizes/
PROBABILIDADE
A história da teoria das probabilidades teve início com os jogos de cartas,
dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de
azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se
calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.
Experimento Aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais
condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados
explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na
loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A
letra que representa o espaço amostral é S. Exemplo: Lançando uma moeda e um
dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12
elementos: S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6} 1. Escreva
explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um
número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}. 2. Idem, o evento
em que: a) A ou B ocorrem; b) B e C ocorrem; c) Somente B ocorre. 3. Quais dos
eventos A,B e C são mutuamente exclusivos Resolução: 1. Para obter A,
escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4,
K6}; Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos:
B={K2,K3,K5,R2,R3,R5} Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de
um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}. 2. (a) A ou B = AUB =
{K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5} (b) B e C = B Ç C = {R3,R5} (c) Escolhemos os
elementos de B que não estão em A ou C; A e C são mutuamente exclusivos, B Ç Ac
Ç Cc = {K3,K5,R2} 3. Porque A Ç C = Æ Conceito de probabilidade Se em um
fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a
probabilidade de ocorrer um evento A é: Por, exemplo, no lançamento de um dado,
um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente
prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50% Dizemos que um espaço amostral S
(finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades
iguais de ocorrência. Num espaço amostral equiprovável S (finito), a
probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre: Propriedades Importantes:
1. Se A e A’ são eventos complementares, então: P( A ) + P( A' ) = 1 2. A
probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento
impossível) e 1 (probabilidade do evento certo). Probabilidade Condicional
Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma
informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral
se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada. Fórmula
de Probabilidade Condicional P(E1 e E2 e E3 e... e En-1 e En) é igual a
P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1). Onde P(E2/E1) é a
probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem
ocorrido E1 e E2; P(Pn/E1 e E2 e... En-1) é a probabilidade de ocorrer En,
condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1. Exemplo: Uma urna tem
30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma
de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser
vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Seja o espaço amostral S=30 bolas, e
considerarmos os seguintes eventos: A: vermelha na primeira retirada e P(A) =
10/30 B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29 Assim: P(A e = P(A).(B/A) =
10/30.20/29 = 20/87 Eventos independentes Dizemos que E1 e E2 e... En-1, En são
eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do
fato de os outros terem ou não terem ocorrido. Fórmula da probabilidade dos
eventos independentes: P(E1 e E2 e E3 e... e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
Exemplo: Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2
bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de
a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resolução: Como os eventos são
independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na
segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou
seja, P(A e = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira
retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a
regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9. Observe que na segunda retirada foram
consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque
o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda
retirada, já que ela foi reposta na urna. Probabilidade de ocorrer à união de
eventos Fórmula da probabilidade de ocorrer à união de eventos: P(E1 ou E2) =
P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2) De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2,
estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam
considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2). Fórmula de probabilidade de
ocorrer à união de eventos mutuamente exclusivos: P(E1 ou E2 ou E3 ou... ou En)
= P(E1) + P(E2) +... + P(En) Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem
lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco? Considerando os
eventos: A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6 B: Tirar 3 no dado branco e P(B)
= 1/6 Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos: n(S) =
6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos: (A ou = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36. Exemplo:
Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a
probabilidade de ser um 8 ou um Rei? Sendo S o espaço amostral de todos os
resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos: A: sair 8
e P(A) = 4/52 B: sair um rei e P(B) = 4/52 Assim, P(A ou = 4/52 + 4/52 – 0 =
8/52 = 2/13. Note que P(A e = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo
tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente
exclusivos
sábado, 26 de outubro de 2013
2º Atividade do livro Maremática Contexto e Aplicações Dante
PROBABILIDADE
A história da teoria das probabilidades teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.
Experimento Aleatório
É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral é S.
Exemplo:
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:
S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}
1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.
2. Idem, o evento em que:
a) A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c) Somente B ocorre.
3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos
Resolução:
1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6};
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.
2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
(b) B e C = B Ç C = {R3,R5}
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;
A e C são mutuamente exclusivos, B Ç Ac Ç Cc = {K3,K5,R2}
3. Porque A Ç C = Æ
Conceito de probabilidade
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:
Propriedades Importantes:
1. Se A e A’ são eventos complementares, então:
P( A ) + P( A' ) = 1
2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).
Probabilidade Condicional
Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.
Fórmula de Probabilidade Condicional
P(E1 e E2 e E3 e... e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).
Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;
P(Pn/E1 e E2 e... En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:
A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
Assim:
P(A e = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
Eventos independentes
Dizemos que E1 e E2 e... En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
P(E1 e E2 e E3 e... e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e 8) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.8)
Observe que na segunda retirada foram consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.
Probabilidade de ocorrer à união de eventos
Fórmula da probabilidade de ocorrer à união de eventos:
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)
De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).
Fórmula de probabilidade de ocorrer à união de eventos mutuamente exclusivos:
P(E1 ou E2 ou E3 ou... ou En) = P(E1) + P(E2) +... + P(En)
Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?
Considerando os eventos:
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6
Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos: (A ou 8) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36.8)
Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei?
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:
A: sair 8 e P(A) = 4/52
B: sair um rei e P(B) = 4/52
Assim, P(A ou 8) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e 8) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
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