Analise combinatória parte 2

credito: http://matematica-na-veia.blogspot.com.br/2009/07/permutacao-simples.html

Permutações simples

Definição:

Dado um conjunto com n elementos, chama-se permutação de n elementos distintos a todo grupo formado pelos n elementos, sendo um grupo distinto de outro quando em cada um dos dois houver, pelo menos:

Dois dos n elementos em ordem diferentes ( Note que a ordem numa permutação é importante )

Considerando o conjunto E= { a_1,a_2,a_3,...,a_n} de n elementos distintos. Chamamos de permutação dos n elementos de E qualquer sequência formada pelos n elementos de E.

Por exemplo, se E= {a,b,c}, as sequências (a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a), são permutações dos 3 elementos de E.

Agora observe os anagramas que podemos formar com as letras da palavra POR.

POR,PRO,OPR,ORP,ROP,RPO.

Fixando P na 1º posição	Fixando O  na 1º posição	Fixando R  na 1º posição
POR PRO	ORP ORP	ROP RPO

Cada um dos 6 anagramas é uma permutação dos elementos P,O e R.

Observe que não foram usados elementos repetidos.

Caso fossem usados elementos repetidos poderíamos ter PPP,PRR,RRP,RRO, e assim por diante.

Mas como a própria definição nos diz “permutação de n elementos distintos”. Não é permitido repetir os elementos.

Questão: existem quantas permutações num conjunto de n objetos?

Como uma permutação é a coleção ordenada desses n objetos, para a primeira posição da ordem desses elementos temos:

n  possibilidades. Uma vez escolhido o 1º elemento dessa ordem, para a escolha do 2º , temos:

n – 1  possibilidades. Uma vez escolhido o 2º elemento da ordem, para a escolha do segundo, temos n – 2 possibilidades, e, assim por diante. Logo, pelo Princípio Multiplicativo, o número de permutações de n objetos é igual a:

n.(n - 1).(n -2)...1 = n! . 
Ou seja P(n)= n!

Note que recaímos na definição de um nº fatorial n!= n(n-1)(n-2)...1.

Adotamos P(n) para representar o número de permutações simples de n elementos, e  n = número total  de elementos.

P= número de elementos que serão tomados para fazer a permutação. Como na permutação P(n)=n!, então P=n.

P(n) = Número de permutações simples dos n elementos tomados p a p, com p=n.        

Vejamos quantos agrupamentos é possível formar quando temos n elementos e todos serão usados em cada agrupamento.