sábado, 26 de outubro de 2013
2º Atividade do livro Maremática Contexto e Aplicações Dante
PROBABILIDADE
A história da teoria das probabilidades teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.
Experimento Aleatório
É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral é S.
Exemplo:
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:
S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}
1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.
2. Idem, o evento em que:
a) A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c) Somente B ocorre.
3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos
Resolução:
1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6};
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.
2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
(b) B e C = B Ç C = {R3,R5}
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;
A e C são mutuamente exclusivos, B Ç Ac Ç Cc = {K3,K5,R2}
3. Porque A Ç C = Æ
Conceito de probabilidade
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:
Propriedades Importantes:
1. Se A e A’ são eventos complementares, então:
P( A ) + P( A' ) = 1
2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).
Probabilidade Condicional
Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.
Fórmula de Probabilidade Condicional
P(E1 e E2 e E3 e... e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).
Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;
P(Pn/E1 e E2 e... En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:
A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
Assim:
P(A e = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
Eventos independentes
Dizemos que E1 e E2 e... En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
P(E1 e E2 e E3 e... e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e 8) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.8)
Observe que na segunda retirada foram consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.
Probabilidade de ocorrer à união de eventos
Fórmula da probabilidade de ocorrer à união de eventos:
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)
De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).
Fórmula de probabilidade de ocorrer à união de eventos mutuamente exclusivos:
P(E1 ou E2 ou E3 ou... ou En) = P(E1) + P(E2) +... + P(En)
Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?
Considerando os eventos:
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6
Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos: (A ou 8) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36.8)
Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei?
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:
A: sair 8 e P(A) = 4/52
B: sair um rei e P(B) = 4/52
Assim, P(A ou 8) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e 8) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
sábado, 12 de outubro de 2013
Atividade do livro Maremática Contexto e Aplicações Dante
Obs: o que esta de vermelho e pq na divisão da 1 então a gente corta
1.Existem 2 vias de locomoção de uma cidade A para uma cidade B e 3 vias de locomoção de uma
cidade B a uma cidade C, de quantas maneiras pode-se ir de A à C, passando por B?
R:
2(vias de A p/ B).3(vias de B para C)
2.3
6
2.De quantas maneiras diferentes pode-se vestir
uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças,2 pares
de meia e 2 pares de sapato?
R:
5(camisas).3(calças).2(meia).2(sapato)
5.3.2.2
15.4
60
de meia e 2 pares de sapato?
R:
5(camisas).3(calças).2(meia).2(sapato)
5.3.2.2
15.4
60
3.Ao lançarmos sucessivamente 3 moedas diferentes
quantas e quais são as possibilidades de
resultado?
resultado?
R:
2(possibilidade n 1° moeda[cara ou coroa]).2(possibilidade n 2° moeda[cara ou
coroa]),2(possibilidade n 3° moeda[cara ou coroa])
2.2.2
4.2
8
Existem 8 possibilidades q são:
Obs: Ca representa cara e Co representa coroa.
Ca,Ca,Ca / Co,Co,Co
Ca,Ca,Co / Co,Co,Ca
Ca,Co,Ca / Co,Ca,Co
Ca,Co,Co / Co,Ca,Ca
2(possibilidade n 1° moeda[cara ou coroa]).2(possibilidade n 2° moeda[cara ou
coroa]),2(possibilidade n 3° moeda[cara ou coroa])
2.2.2
4.2
8
Existem 8 possibilidades q são:
Obs: Ca representa cara e Co representa coroa.
Ca,Ca,Ca / Co,Co,Co
Ca,Ca,Co / Co,Co,Ca
Ca,Co,Ca / Co,Ca,Co
Ca,Co,Co / Co,Ca,Ca
4. Numa lanchonete há 5 tipos de sanduíche,4 tipos
de refrigerante e 3 tipos de sorvete. De quantas
maneiras podemos tomar um lanche composto de 1 sanduíche, 1 refrigerante e 1 sorvete?
R:
5(tipos de sanduíche).4(tipos de refrigerante).3(tipos de sorvete)
5.4.3
20.3
60
maneiras podemos tomar um lanche composto de 1 sanduíche, 1 refrigerante e 1 sorvete?
R:
5(tipos de sanduíche).4(tipos de refrigerante).3(tipos de sorvete)
5.4.3
20.3
60
5.Quantos números de dois algarismos podemos
formar sabendo que o algarismo das dezenas
corresponde a um múltiplo de 2 (diferente de zero) e o algarismo das unidades corresponde a um
múltiplo de 3?
corresponde a um múltiplo de 2 (diferente de zero) e o algarismo das unidades corresponde a um
múltiplo de 3?
R:
os n° de 2 algarismos estão ente 10 e 99
existem 4 n° para a dezena pois entre 1 e 9(que são os n° das dezenas de 10 e 99) temos 2,4,6 e 8
q são múltiplos de 2
existem 4 n° para a unidade pois entre 0 e 9(que são os n° das unidades de 10 e 99) temos 0,3,6,9
q são múltiplos de 3
então fica:
4(dezenas).4(unidades)
4.4
16
os n° de 2 algarismos estão ente 10 e 99
existem 4 n° para a dezena pois entre 1 e 9(que são os n° das dezenas de 10 e 99) temos 2,4,6 e 8
q são múltiplos de 2
existem 4 n° para a unidade pois entre 0 e 9(que são os n° das unidades de 10 e 99) temos 0,3,6,9
q são múltiplos de 3
então fica:
4(dezenas).4(unidades)
4.4
16
6.Quantas palavras (com significado ou não) de 3
letras podemos formar com as letras A, L e I?
Quais são essas palavras?
R:
3![letras]/(3-3[posições])!
3!/(3-3)!
3.2.1!/1!
3.2
6
Existem 6 palavras q são:
ALI / LIA
AIL / ILA
LAI / IAL
Quais são essas palavras?
R:
3![letras]/(3-3[posições])!
3!/(3-3)!
3.2.1!/1!
3.2
6
Existem 6 palavras q são:
ALI / LIA
AIL / ILA
LAI / IAL
7.Quantos números de 4 algarismo podemos escrever
com os algarismos 2, 4, 6 e 8? E de 4
algarismos distintos?
algarismos distintos?
R:
4![n°]/(4-4[algarismos])!
4!/(4-4)!
4.3.2.1!/1!
4.3.2
24
4![n°]/(4-4[algarismos])!
4!/(4-4)!
4.3.2.1!/1!
4.3.2
24
8.De quantas maneiras uma família de 5 pessoas
pode sentar num banco de 5 lugares para tirar uma
foto?
R:
foto?
R:
5![pessoas]/(5-5[lugares])!
5!/(5-5)!
5.4.3.2.1!/1!
5.4.3.2
120
5!/(5-5)!
5.4.3.2.1!/1!
5.4.3.2
120
9.De quantas maneiras uma família de 5 pessoas
pode sentar-se num banco de 5 lugares, ficando]
duas delas (por exemplo, pai e mãe) sempre juntas em qualquer ordem?
R:
duas delas (por exemplo, pai e mãe) sempre juntas em qualquer ordem?
R:
4![porque tem 5 pessoas mas o pai e a mãe vai ser contados como 1 pessoas só para
permanecerem sempre juntos]/(4-4[porque tem 5 lugares mas os lugares do pai e da mãe vao ser
contados como 1 lugar só])
4!(4-4)!
4.3.2.1!/1!
4.3.2
24
permanecerem sempre juntos]/(4-4[porque tem 5 lugares mas os lugares do pai e da mãe vao ser
contados como 1 lugar só])
4!(4-4)!
4.3.2.1!/1!
4.3.2
24
10.Quantos são os anagramas da palavra AMOR?
R:
4![letras]/(4-4[posições])!
4!/(4-4)!
4.3.2.1!/1!
4.3.2
24
R:
4![letras]/(4-4[posições])!
4!/(4-4)!
4.3.2.1!/1!
4.3.2
24
sexta-feira, 27 de setembro de 2013
Atividade livro de matemática ( matemática contextos e aplicações ,Dante,):
Pagina: 285
Questões: 18,19,20,21,22,23 e 25
Obs: o que esta de vermelho e pq na divisão da 1 então a gente corta
Questão 18. Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um desses cargos, de quantas maneiras é possível formar uma diretoria.
R:
30[membros]!/(30-4[posições; presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro)!
30[membros]!/(30-4[posições; presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro)!
30!/(30-4)!
30!/26!
30.29.28.27.26!/26!
30.29.28.27
657720
Questão 19. Responda às questões:
a)Quantos n° de 4 algarismos distintos podem ser formados pelos dígitos
4,5,6,7,8?
R:
5![porque existe 5 n°]/(5-4[posições])!
5!/(5-4)!
5!/2!
5.4.3.2!/2!
5.4.3
60
b)Quantos desses n° formados são impares?
R:
4![4 n° tirando o
impar que vai ficar no fim]/(4-3[pq são 4 lugares menos o numero impar no fim)!
4!/(4-3)!
4!/1!
4.3.2.1!/1!
4.3.2
24
24.2[porque existe 2n°
impares{5 e 7} então a operação e feita 2 vezes]
24.2
48
Questão 20. De quantas maneiras podemos escolher um pivô e um ala num
qrupo de 12 jogadors de basquete?
R:
12!(jogadores)/(12-2[posições;
um pivô e um ala])!
12!/(12-2)!
12!/10!
12.11.10!/10!
12.11
132
Questão 21.considere os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
a)Quantos n° de três algarismos distintos podemos escrever?
R:
9![números]/(9-3[dígitos])!
9!/(9-3)!
9!/6!
9.8.7.6!/6!
9.8.7
504
b)Quantos n° de quatro algarismos distintos que terminam com 7 podemos
escrever?
R:
8![pq são nove n°
menos o 7 que vai no fim]/(8-3[porque são 4 posições e menos a posição do 7 que
ta no fim])!
8!/(8-3)!
8!/5!
8.7.6.5!/5!
8.7.6
336
c)Quantos n° de sete algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem
com 8 podemos escrever?
R:
7![nove n° menos o {3
e 8}]/(7-5[sete algarismos menos o 3 e 8 que esta na frente e no final])!]
7!/(7-5)!
7!/2!
7.6.5.4.3.2!/2!
7.6.5.4.3
2520
d)Quantos n° de sete algarismos distintos podemos escrever com os
algarismos 5 e 6 sempre juntos e nessa ordem?
R:
8![pq são nove dígitos
e o 5 e 6 vão ser contados como 1 único numero para eles permanecerem sempre
juntos]/(8-6[dois dos espaços vão ser contados com 1 por causa do 5 e 6 que vão
ser contado s com u n° só)!
8!(8-6)!
8!/2!
8.7.6.5.4.3.2!/2!
8.7.6.5.4.3.2
40320
Questão 22. Num sofá há lugares para quatro pessoas. De quantas
maneiras diferentes podem se sentar 6 pessoas?
R:
6![pessoas]/(6-4[lugares])!
6!/(6-4)!
6!/2!
6.5.4.3.2!/2!
6.5.4.3
360
Questão 25. Com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6:
a)Quantos n° de 4 algarismos distintos podemos formar?
R:
6![n°]/(6-4[algarismos])!
6!/(6-4)!
6!/2!
6.5.4.3.2!/2!
6.5.4.3
360
b)quantos n° de 4 algarismos distintos podemos formar tal que o ultimo
algarismo seja sempre 6?
R:
5![são 6 n° menos o 6
que esta no final]/(5-3[4 algarismos menos o ultimo algarismo que esta o 6])!
5!/(5-3)!
5!/2!
5.4.3.2!/2!
5.4.3
60
c)quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar?
R:
5![são 6 n° menos o n°
par que vai estar no final para o numero formado ser par]/(5-3[4 algarismos
menos o ultimo algarismo que esta o n° par)!
5!/(5-3)!
5!/2!
5.4.3.2!/2!
5.4.3
60
60.3[por serem três n°
pares que podem ficar no fim essa operações e feita 3 vezes]
60.3
180[é o números de possibilidades]
d) quantos números impares de 4 algarismos distintos podemos formar?
R:
5![são 6 n° menos o n°
impar que vai estar no final para o numero formado ser impar]/(5-3[4 algarismos
menos o ultimo algarismo que esta o n° impar)!
5!/(5-3)!
5!/2!
5.4.3.2!/2!
5.4.3
60
60.3[por serem três n°
impares que podem ficar no fim essa operações e feita 3 vezes]
60.3
180[é o números de possibilidades]
sexta-feira, 6 de setembro de 2013
gabarito da atividade sobre A.C(por favor tenten responder antes de ver o gabarito)
Gabarito
01-e
02-b
03-15
04-d
05-d
Cálculos:
01-
2.4.5.3 = 8.15 = 120
2(saladas).4(pratos de carne).5(bebidas).3(sobremesa)+120(maneiras)
02-
{1,3,5,6,8,9}
De 1 á 9 existem 6 algarismos então
6! = 6.(6-1).(6-2)= 6.5.4= 120
Nós paramos em (6-2) por que ele quer um numero de três algarismos.
6 - digito 1
(6-1) - digito 2
(6-2) - digito 3
03-
3.5=15
3(portas).5(elevadores)= 15(maneiras)
04-
Se ele tem que entra por uma das 5 portas e não pode sair
por ela mesma só sobra 4 portas para ele sair, então:
5.4 = 20
5(entra).4(sair)=20(maneiras)
05-
infelizmente n sabemos responder esse quem souber da uma ajudinha ae
creditos: alunos- lucas, joao, jeisser, ivanildo(donos do blog matematica espetacular)
atividades sobre analise combinatória
Creditos:http://pessoal.educacional.com.br/up/4380001/4947854/LISTA%20DE%20EXERC%C3%8DCIOS%20-%20AN%C3%81LISE%20COMBINAT%C3%93RIA.pdf
01. (FGV - SP) - Um restaurante oferece no cardápio duas saladas distintas, quatro tipos de pratos de carne, cinco variedades de bebidas e três sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?
01. (FGV - SP) - Um restaurante oferece no cardápio duas saladas distintas, quatro tipos de pratos de carne, cinco variedades de bebidas e três sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido?
a)90 b)100 c) 110 d)130 e)120
02. (ITA - SP) - Quantos números de três algarismos distintos podemos
formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9?
a)60 b)120 c)24 d)40 e) 80
03. (FAAP - SP) - Num hospital existem 3 portas de entrada
que dão para um amplo saguão no qual existem 5 elevadores. Um visitante deve se
dirigir ao 6º andar utilizando-se de um dos elevadores. De quantas maneiras
diferentes poderá fazê-lo?
04. (Mack-SP) Se um quarto tem 5 portas, o número de maneiras
distintas de se entrar nele e sair dele por uma porta diferente é:
a)5 b)10 c)15 d)20 e)25
05. (GAMA FILHO-RJ) Quantos são os inteiros positivos, menores
que 1000, que têm seus dígitos pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}?
a)15 b)23 c)28 d)39 e)42
Analise combinatória inicio
Introdução
à Análise Combinatória
Análise
Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de
grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob
certas circunstâncias.
Na
maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos
formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do
agrupamento, com p<m.
Arranjos,
Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo
que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns
detalhes de tais agrupamentos.
Observação: É comum encontrarmos na literatura
termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os
mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!
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